下面这部分讲的是空间力（spatial force），也常叫 wrench（力旋量）。它把三维力 $ \mathbf f $ 和该力对某点的力矩 $ \mathbf n_O $ 合在一起，用一个六维量表示。

一个刚体受到的一般力作用

对于刚体B，最一般的外力可以分成两部分： $ \mathbf f $ 和 $ \mathbf n_O $

$ \mathbf f $ ：表示作用在刚体上的合力，方向和大小就是普通三维力。

$ \mathbf n_O $ ：表示该力系关于点 $ O $ 的总力矩，也可以理解为作用在刚体上的力偶矩。

因此，一个空间力可以用下面这一对三维向量描述：

$$ (O,\mathbf n_O,\mathbf f) $$

更本质的说，是用 $ (\mathbf n_O,\mathbf f) $来描述相对于点O的空间力。

这里和空间速度类似：空间速度由角速度 $ \boldsymbol\omega $ 和点 $ O $ 的线速度 $ \mathbf v_O $ 组成；空间力则由力矩 $ \mathbf n_O $ 和线力 $ \mathbf f $ 组成。

为什么力矩依赖参考点

力 ($ \mathbf f $) 本身与选哪个点作为参考点无关，但是力矩与参考点有关。

如果已知力系关于点 (O) 的总力矩为 $ \mathbf n_O $ 那么它关于另一个点 (P) 的总力矩为

$$ \mathbf n_P=\mathbf n_O+\mathbf f\times \overrightarrow{OP}. $$

这里：$ \overrightarrow{OP} $ 表示从点 (O) 指向点 (P) 的位置向量。

这个公式的含义是：同一个力系，如果换一个参考点计算力矩，力矩会增加一项由力 ($ \mathbf f $) 和参考点偏移量产生的附加力矩。

因为叉乘反交换：

$$ \mathbf f\times \overrightarrow{OP} = -\overrightarrow{OP}\times \mathbf f. $$

所以这个公式也常见地写成：

$$ \mathbf n_P=\mathbf n_O-\overrightarrow{OP}\times \mathbf f. $$

两种写法等价。

坐标展开

现在在点 O 建立笛卡尔坐标系

$$ Oxyz $$

其正交单位基为 $ {\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k}. $

那么力矩 $ \mathbf n_O $ 可以展开为：

$$ \mathbf n_O = n_{Ox}\mathbf i+n_{Oy}\mathbf j+n_{Oz}\mathbf k. $$

力 $ \mathbf f $ 可以展开为：

$$ \mathbf f = f_x\mathbf i+f_y\mathbf j+f_z\mathbf k. $$

其中：

$$ n_{Ox},n_{Oy},n_{Oz} $$

是关于 O 点的力矩分量；

$$ f_x,f_y,f_z $$

是线力分量。

六个基本空间力

空间力可以看成六个基本力的线性组合。

前三个是单位力偶：

$$ \mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z $$

分别表示绕 (x,y,z) 方向的单位力矩。

后三个是单位线力：

$$ \mathbf e_{Ox},\mathbf e_{Oy},\mathbf e_{Oz} $$

分别表示沿 (Ox,Oy,Oz) 三条直线作用的单位线力。

因此定义 Plücker 力坐标基：

$$ \mathcal E_O= {\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z, \mathbf e_{Ox},\mathbf e_{Oy},\mathbf e_{Oz}} \subset \mathbb F^6. $$

这个基的顺序很重要：前三个对应力矩，后三个对应力。

空间力向量的表达式

空间力向量记为

$$ \hat{\mathbf f} $$

它可以写成六个基向量的线性组合：

$$ \hat{\mathbf f} = n_{Ox}\mathbf e_x +n_{Oy}\mathbf e_y +n_{Oz}\mathbf e_z +f_x\mathbf e_{Ox} +f_y\mathbf e_{Oy} +f_z\mathbf e_{Oz}. $$

它的结构可以看成：

$$ \underline{\hat{\mathbf f}}_O = \begin{bmatrix} n_{Ox}\\ n_{Oy}\\ n_{Oz}\\ f_x\\ f_y\\ f_z \end{bmatrix}. $$

也可以紧凑地写成：

$$ \underline{\hat{\mathbf f}}_O = \begin{bmatrix} \underline{\mathbf n}_O\\ \underline{\mathbf f} \end{bmatrix}. $$

为什么说整体是不变的？

文中说：

Each individual term on the right-hand side depends on the position and orientation of (Oxyz), but the expression as a whole is invariant.

意思是：单独看某个分量，例如

$ \mathbf f $ 和 $ \mathbf n_O $

它们当然依赖坐标系。你换一个坐标系，分量数值会变。

但是整个空间力